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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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9. Calcule las siguientes integrales
c) ∫01x(3x+x)dx\int_{0}^{1} \sqrt{x}(3x+\sqrt{x}) dx

Respuesta

Tenemos que calcular esta integral definida:

∫01x(3x+x)dx\int_{0}^{1} \sqrt{x}(3x+\sqrt{x}) dx

Arrancamos primero buscando la primitiva:

∫x(3x+x)dx\int \sqrt{x}(3x+\sqrt{x}) dx

Y antes de desesperar, fijate que acá podemos hacer distributiva:

∫3x⋅ x +x⋅ x  dx\int 3x \cdot \sqrt{x} +\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \, dx

Y usando propiedades de potencias nos queda:

∫3x3/2+x  dx\int 3x^{3/2} + x \, dx

Y ahora integramos con las reglas para polinomios:

∫3x3/2+x  dx= 65x5/2+x22+C\int 3x^{3/2} + x \, dx = \frac{6}{5} x^{5/2} + \frac{x^2}{2} + C

Ahora aplicamos Barrow:

∫01x(3x+x)dx= ∫01 3x3/2+x  dx= (65x5/2+x22)∣01= 1710\int_{0}^{1} \sqrt{x}(3x+\sqrt{x}) dx = \int_{0}^{1} 3x^{3/2} + x \, dx = \left.\left(\frac{6}{5} x^{5/2} + \frac{x^2}{2}\right)\right|_0^1 = \frac{17}{10}

Por lo tanto,

∫01x(3x+x)dx= 1710\int_{0}^{1} \sqrt{x}(3x+\sqrt{x}) dx = \frac{17}{10}
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